De stelling van Gödel

Ergens rond 1968, toen de wereld vol was van vernieuwing en toekomstdromen, legde een wiskundige ons tijdens een college de stelling van Gödel uit: in ieder formeel logisch systeem van enige complexiteit zijn beweringen mogelijk die niet te bewijzen zijn. Zo’n systeem is daardoor incompleet. Elke poging om het compleet te maken met extra toeters en bellen (axioma’s en transformatieregels) is vergeefs, en maakt vermoedelijk de situatie alleen maar ‘erger’. Hoezo erger? Onder de studenten ontstonden drie soorten reacties:

  • All is lost‘, vergelijkbaar met de reactie van Hilbert in 1931 toen hij de jonge, nog vrijwel onbekende Gödel zijn stelling hoorde uitleggen. Hilbert had in 1900 een programma gepresenteerd om de wiskunde formeel en compleet te grondvesten. Tientallen jaren hadden de beste wiskundigen hieraan gewerkt. Gödel liet zien dat dit zelfs voor een simpel systeem als de rekenkunde onmogelijk was. Er zijn beweringen over getallen mogelijk waarvan de juistheid niet te bewijzen is.  Misschien zijn sommige ook wel onjuist. Een voorbeeld is misschien(!) het vermoeden van Goldbach: ieder natuurlijk getal is het gemiddelde van twee priemgetallen. Het is voor vele miljoenen getallen geverifieerd, maar er is nooit een bewijs gevonden.

    Hilbert en zijn collega’s zagen hun programma verdampen. Zij hadden jarenlang een doodlopende weg gevolgd. Dit was een zware slag voor de vele wetenschappers waarvoor de wiskunde een basis was, een fundament voor elke zoektocht naar zekerheid. Voor sommigen lag deze in gruzelementen.  Ik had een jaargenoot, een zeer heldere denker, die in een complete depressiviteit verviel. Wat had het voor zin om nog verder te studeren in een vak als natuurkunde als zelfs de onderliggende wiskunde fundamenteel faalde? Hij raakte aan de drank en heeft zijn studie nooit afgemaakt.
  • Mijn eigen reactie was volkomen tegengesteld. Dit was geweldig nieuws: de wereld is veel groter dan wiskunde en natuurkunde kunnen omvatten. Formele beschrijvingen zullen altijd tekort schieten. Er zijn inzichten mogelijk die vooreerst alleen te toetsen zijn aan de menselijke intuïtie en onze experimenten. Niet alle stellingen hebben een bewijs nodig op grond van een gevestigde stelsel van axioma’s of natuurwetten. Nieuwe natuurwetten om experimentele resultaten met een theorie te onderbouwen, zullen leiden tot nog meer vergezichten!. De hemel is open, we kunnen ruim ademhalen. De wereld kan niet worden dichtgetimmerd!!

    Een voorbeeld van zo’n beschrijving is de golfvergelijking van Schrödinger voor elementaire deeltjes. Deze beschrijft de waargenomen fenomenen uitstekend, maar heeft geen basis in de bestaande natuurwetten. Het is jammer dat dit pas laat tot mij doordrong. De “uit de lucht gevallen” vergelijking was geruime tijd een irritatie voor mij en leidde tot vergeefse zoektochten naar afleidingen in de bibliotheek. Deze bestaan niet. Schrödinger voegde iets volkomen nieuws toe.
  • De standaard reactie op de stelling van Gödel was en is: negeren en blijven eisen dat de wereld als zwart/wit, waar/onwaar, met zekerheid wordt beschreven.: . Kom niet langs met waarheden die je niet kunt bewijzen. Deze wetenschappers kwalificeren de stelling als een merkwaardige aberratie, jammer voor sommige wiskundigen, maar in de dagelijkse praktijk hoeft deze geen rol te spelen.

    Vooral groepsleiders, managers, subsidiegevers en politici gaan er nog steeds ten onrechte van uit dat wetenschap zekerheden biedt i.p.v. mogelijkheden. Onderzoekers moeten daardoor zeer zorgvuldig formuleren om te voorkomen dan hun inzichten ten onrechte worden verkocht als vaststaande feiten, dan wel ten onrechte worden gediskwalificeerd als ‘onbewezen vermoedens’. Waar mogelijk moeten argumenten, waarnemingen en experimenten worden aangevoerd als alternatief voor een wellicht niet bestaand bewijs.

Waarom kan een bewering als juist worden ervaren? Een formeel bewijs geeft slechts aan dat hij past in eerder aannamen. Maar helpt dat ook om de juistheid te begrijpen, of geeft dit slechts een zekere bevrediging? In feite laat een bewijs slechts zien dat we een andere formulering hebben gevonden voor een eerder geaccepteerde waarheid. Een plotseling inzicht dat in overeenstemming is met waarnemingen en heldere begrippen kan op een nieuw, nog niet gebruikt aspect van de natuur wijzen. Het vergroot ons wereldbeeld en kan tot vreugde en geestdrift leiden. Een bewijs is niet echt nodig., maar als het bestaat kan het sommigen helpen.

Heeft de stelling van Gödel ook consequentie voor de techniek? Machines en zeker ook computers zijn gebaseerd op algoritmische procedures, die weer beschreven kunnen worden met formele systemen waar de onvolledigheidsstelling betrekking op heeft. Turing heeft laten zien dat de consequentie voor computers het zogenaamde halt-probleem is: Er zijn formeel juiste algoritmes waarvan niet voordat ze worden uitgevoerd kan worden bepaald of ze ooit tot een eind komen. Een programmeur kan slechts hopen dat dit het geval is. Zijn enige uitweg is om ze na een redelijke tijd, voortijdig te stoppen. Dit leidt ertoe dat het algoritme zonder resultaat, ‘open’, eindigt.

Een computer is in principe een mechanische machine. De electronica versnelt slechts dat wat ook met raderen en wissels zou zijn uit te voeren. Voor ingewikkelde machines, tegenwoordig vaak gedeeltelijk met computers uitgevoerd, geldt daarom ook het halt-probleem: er zijn constructie mogelijk waarvan niet te overzien is of ze tot een resultaat leiden. Voor bijvoorbeeld auto’s, treinen en vliegtuigen, maar ook voor huishoudrobots e.d. geldt daarom dat het niet voldoende is om de op zichzelf overzichtelijke onderdelen op een legitieme wijze met elkaar te verbinden. Het is noodzakelijk het geheel te doorgronden voordat hij wordt aangezet. Hierbij moet kunnen worden begrepen en waar mogelijk bewezen dat er altijd een legitiem resultaat wordt verkregen, anders zijn ongelukken niet uitgesloten.

De stelling van Gödel bewijst, voor wie het nog niet wist, dat de gegeven wereld, de bovennatuur, niet is af te grenzen. Als we zelf een kunstmatige wereld creëren geldt dat ook, met voor ons onvoorziene resultaten. We scheppen dan in de ondernatuur. Als we ons tegen de gevaren die daar kunnen ontstaan willen beschermen is juist wel noodzakelijk dat we ons in de techniek beperken en onze verantwoordelijkheid als schepper nemen.

Literatuur en links

Print Friendly, PDF & Email
Scroll naar boven