2 – 3 (2) Gödel

In de klassieke logica is een correct geformuleerde bewering waar of onwaar. “Een hond heeft vier poten. Bello is een hond, dus Bello heeft vier poten” is waar. Echter “Een hond heeft vier poten. Bello is een hond, maar Bello mist een poot” is in het dagelijks leven een duidelijk verhaal, maar logisch onwaar. Het missen van een poot conflicteert met de bewering dat Bello een hond is, want honden hebben vier poten.

Het opstellen van correct geformuleerde beweringen is niet eenvoudig. Dit blijkt uit een bewering als “De barbier van Sevilla scheert iedereen die zichzelf niet scheert”. Het is nu onduidelijk of hij zichzelf scheert. Als hij zichzelf scheert dat scheert hij zichzelf niet en omgekeerd. Deze paradox ontstaat door een onduidelijke formulering.

Echter, zelfs als de formuleringen scherp en duidelijk zijn, kan er onduidelijkheid zijn over het al dan niet waar zijn van een bewering. Bewijzen zijn soms lastig te vinden. Het duurde bijvoorbeeld erg lang voor er een bewijs werd gevonden voor de bewering: “Ieder landkaart is met vier kleuren te kleuren zonder dat twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen”. Het bewijs, uit 1976, wordt door sommigen niet als bewijs geaccepteerd, omdat het alleen per computer te verifiëren is.

Zeer interessant is nu een stelling van de wiskundige Kurt Gödel. Hij bewees dat in ieder systeem van een zekere minimale complexiteit (bijvoorbeeld de rekenregels met natuurlijke getallen) er beweringen zijn die niet bewezen noch weerlegd kunnen worden. Er zijn dus waarheden die wel geformuleerd maar niet bewezen kunnen worden. Een voorbeeld zou het vermoeden van Goldbach kunnen zijn: ieder even getal is de som van twee priemgetallen.

De consequenties van Gödel’s stelling zijn gigantisch en nog niet helemaal overzien. Wetenschappen die gebaseerd zijn op wiskunde en logica, zoals de natuurkunde en de informatica, zijn dus onvolledig: zij kunnen correcte beweringen omvatten die niet bewezen kunnen worden. Er is daarom behoefte aan een logica die niet binair is (beweringen die niet waar zijn zijn onwaar) maar ternair (beweringen zijn waar, onwaar, of onbepaald).

Zelfs in de fysieke, scherp gedefinieerde wereld is niet volledig bewijsbaar of berekenbaar wat er gaat of kan gebeuren. Volledige kennis van de natuurwetten en het exact waarnemen van de beginsituatie zijn samen niet voldoende om de zich voltrekkende werkelijkheid te doorgronden. Er zijn gebeurtenissen mogelijk die niet in strijd zijn met de natuurwetten, maar daar ook niet uit kunnen worden afgeleid. De toekomst is daardoor niet eenduidig via de natuurwetten uit het verleden af te leiden.

 

Print Friendly, PDF & Email
Scroll naar top