Marcus du Sautoy, Priemgetallen

Soms komt de vraag op of wiskunde wel een wetenschap is. Zij bestudeert niet een gegeven wereld buiten de onderzoeker, zoals in de natuurkunde, de biologie of zelfs in de economie of de letterkunde. De wiskundige creëert zelf. Hij definieert zijn axioma’s en leidt daar wetmatigheden uit af. Zo niet bij de getallenleer. Getallen zijn gegeven. Je zou zelfs kunnen stellen dat er niets is dat ons zo duidelijk met de oorsprong van de schepping verbindt als de getallen. In de geestelijke wereld, in de samenwerkingen van de hiërarchieën, spelen getallen een duidelijke rol. De studie van de getallen is dus een wetenschap van een domein dat de mens met de engelen deelt. Maar kijken we daar wel op dezelfde wijze naar?

De trap van de harde, fysische wetenschap leidt omhoog naar de geestelijke wereld. Op deze weg passeren we de zielenwereld, het gevoelsleven, dat zich uitdrukt in de kunst. Met name in de muziek is deze overgang goed waarneembaar. Trillingen, ritmen, tonen, akkoorden, boventonen gaan geleidelijk over in harmonieën en melodieën die bij de luisteraar gevoelens, beelden en soms diepere gedachten en inzichten oproepen. Getallen gaan over van kwantiteiten naar kwaliteiten als ze ons terugvoeren naar hun oorsprong.

Een speciale rol in de getallenwereld spelen de priemgetallen. Ieder getal is of zelf een ondeelbaar priemgetal of kan worden ontbonden in factoren die zelf priemgetallen zijn. In het licht van het bovenstaande roept dit de vraag op of de priemgetallen ook behulpzaam kunnen zijn bij het bestijgen van de trap. Een boek dat in de titel een verband legt tussen deze getallen en de muziek roept daarom verwachtingen op.

Marcus du Sautoy (1965), hoogleraar in Oxford, schreef The music of the primes in 2003 duidelijk vanuit deze verwachting. Het is een gevoel dat al eeuwenlang bij veel onderzoekers leeft: het verlangen de getallenwereld, en met name de priemgetallen te doorgronden. Bij sommigen schittert in dit verlangen het perspectief dichter bij de basis van de schepping te komen, bij anderen is het puur de vreugde die het begrijpen oproept. Het is vaak een volledig onbaatzuchtige vreugde omdat gedurende lange tijd de kennis op dit punt in het geheel niet elders toepasbaar was. Roem en wetenschappelijk aanzien speelden wel vaak mee, maar lang niet altijd als enige. Het willen begrijpen, en vooral het zelf veroveren van het begrip zijn essentiële drijfveren naast de vreugde van het kunnen delen van het bereikte.

Het plezier van het mogen delen spat er bij vele publicisten over de priemgetallen vanaf. Zeer duidelijk is dit bij Marcus du Sautoy , maar ook bijvoorbeeld bij Levrie en Penne (De pracht der priemgetallen), bij Hardy (A mathematician’s apology) en bij Van den Brandhof (Priemwoestijnen). Bij al deze auteurs is hun vreugde na te voelen door de lezer, en als ze hun doel bereiken dan wordt deze vreugde authentiek omdat de lezer ook zelf iets begrijpt. Dat lukt niet altijd en er blijft honger achter naar meer begrip, wat ook niet erg is. Marcus du Sautoy speelt in op deze honger omdat hij die ook zelf voelt. Hij blijft over het onderwerp schrijven [], en produceerde een TV documentaire serie The Code [], waarin voortdurend de link tussen scheppingsmachten en getallen op de achtergrond aanwezig is.

Als tegenhanger kan in sommige opzichten Das Primzahlkreuz van Peter Plichta worden genoemd. Plichta is een chemicus die de priemgetallen in zijn vakgebied tegenkomt, en ook getroffen wordt door het raadsel. Naast de nieuwsgierigheid overheerst hier echter de pijn van het onbegrip. Dit zou kunnen komen door de extra stap van de voor Plichta raadselachtige manifestatie van de priemgetallen naar de chemie.

Voor alle genoemde auteurs geldt dat zij schrijven vanuit een materialistisch wereldbeeld. Getallen zijn geen materie, maar de nadruk op de kwantitatieve kant maken de benaderingen toch eenzijdig. We kunnen het als een toekomstige uitdaging zien de priemgetallen vanuit de scheppingsmachten te benaderen.

The music of the primes helpt ons op weg. Het bevat een uitstekende en plezierig leesbare schets van Euler (1707-1783) via Gauss (1777-1855), Riemann (1826-1866), Hilbert (1862-1943), Gödel (1906-1978) en vele anderen naar de ontdekking van Montgomery in 1972 over de verdeling van de nulpunten in Riemann’s zeta landschap. Deze verdeling is essentieel voor de karakterisering van de verzameling priemgetallen. Het knaagt de wiskundigen dat de vermoedelijk juiste hypothese nog steeds niet bewezen is. Gödel  heeft echter aangetoond dat er wiskundige waarheden zijn die niet bewezen kunnen worden.

Voor de wiskundigen is dit soms tragisch, maar vanuit een esoterisch standpunt is dit fascinerend. Juist omdat de wiskunde zich op de grens van onze fysieke wereld en de geestelijke wereld bevindt zijn niet te bewijzen waarheden die toch breed worden gedragen op te vatten als een licht dat schijnt vanuit een andere wereld. Marcus du Sautoy zet deze stap niet expliciet. Voor de antroposoof ligt hij echter voor de hand en nodigt zijn boek uit tot verdere studie. De eeuwenlange fascinatie voor priemgetallen die pas sinds kort ook buiten de wiskunde interessant is versterkt deze uitnodiging.

In het boek bevinden zich twee aangrijpingspunten voor verder onderzoek. Allereerst is er het gebruik van complexe getallen. Priemgetallen zijn natuurlijke getallen: 2, 3, 5, 7, 11, …, etcetera. De zo belangrijke Riemann hypothese om hun verdeling te karakteriseren is echter geformuleerd in complexe getallen. Dit zijn reële getallen waaraan de imaginaire getallen (gebaseerd op de wortel uit -1) zijn toegevoegd. Rudolf Steiner verwijst naar deze getallen in verband met de lichtether en in verband met de astrale wereld. Uiteindelijk moet een complexe beschrijving weer geconverteerd worden naar reële getallen om weer naar de fysische werkelijkheid te kunnen verwijzen.

Het onderzoek van de priemgetallen volgt dus een pad dat tijdelijk de complexe ruimte passeert. Dit is een ruimte die ook wordt gebruikt voor het beschrijven van trillingen, bijvoorbeeld van licht, maar ook van geluid en met name van muziek. Vandaar dat de titel van het boek naar muziek verwijst. Helaas wordt dit nauwelijks uitgewerkt. Er zijn geen verwijzingen naar plekken waar de muziek van de priemgetallen echt te beluisteren is. Het blijft een metafoor. De complexe beschrijving echter blijft interessant omdat het de priemgetallen in beweging zet. Dit zou verder geëxploreerd kunnen worden.

Een tweede open punt is de genoemde ontdekking van de wiskundige Montgomery in een toevallig theegesprek met de fysicus Dyson. Montgomery toonde hem een plaatje gerelateerd aan de zeta-functie die gebruikt wordt om de verdeling van de priemgetallen te karakteriseren. Dyson herkende dit plaatje uit zijn onderzoek over toevalsmatrices dat hij gebruikte in verband met de energieniveaus van in atoomkernen. Later bleek dat voor vele andere complexe systemen dezelfde typen toevalsmatrices kunnen worden opgesteld. Zij kunnen chaotisch gedrag vertonen, zoals bijvoorbeeld het weer.

Rudolf Steiner geeft aan dat geboorteprocessen waarbij uit de ene wereld iets in een andere wereld incarneert de vrucht zich vormt uit een chaos, zoals bijvoorbeeld de kip uit het ei. Omdat de priemgetallen zich chaotisch gedragen ondersteunt dit het idee dat de zij zouden kunnen worden opgevat als de bouwstenen van de complete getallenwereld. Zij vormen de kiem waarmee de andere getallen zich kunnen openbaren.

Hoewel de geestelijke wereld nergens in de Music of the primes of elders door Marcus du Sautoy wordt genoemd zorgen de schrijfkunst, het enthousiasme en de openheid van de auteur ervoor dat het een boeiend boek is voor wie zich wel in die wereld en haar werkingen in de onze wil verdiepen.

Referenties

  1. M. du Sautoy, The Music of the Primes, Harper Perennial, 2004.
  2. M. du Sautoy, The Number Mysteries: A Mathematical Odyssey through Everyday Life, Palgrave and Macmillan, 2011.
  3. M. du Sautoy, The Code, IMDb documentaire, 2011.
  4. R. Levrie en Penne, De pracht der priemgetallen, Prometheus Bert Bakker, 2014.
  5. G.H. Hardy, A mathematician’s apology, Cambridge University Press, 1940.
  6. A. van den Brandhof (Priemwoestijnen), Prometheus, 2018.
  7. P. Plichta, Das Primzahlkreuz, Quadropol Verlag, 1991.
  8. The Riemann zeta function, Wikipedia.
  9. Gödels incompleteness theorems, Wikipedia.

 

Print Friendly, PDF & Email
Scroll naar top